Mathématiques relatives au chapitre 4

 

Analyse qualitative de la gestion des flux d’énergie dans une société humaine complexe.

 

Nous allons essayer d’estimer ce qui pourrait se passer qualitativement avec l’aide de quelques graphiques. Auparavant, il nous faudra simplifier au maximum le problème en posant quelques limites et définir quelques termes.

  • Nous allons considérer l’ensemble des sociétés mondialisées sans tenir compte des frontières géographiques qui les séparent, ni de l’hétérogénéité de complexité à l’intérieur de cet ensemble.

 

  • La complexité ne peut pas se décrire par un seul chiffre donc ne peut pas se mettre directement sur l’ordonnée d’un graphique. Il nous faut trouver un indicateur, sans unité, qui la représente assez bien. Nous dirons  qu’en première approximation, la complexité C(A) en l’année A est proportionnelle à l’énergie totale qui a été consacrée à la croissance du système depuis qu’il existe.  Mathématiquement   C(A) est proportionnelle à la surface sous la courbe EC(t) entre une année de référence Aref, (par exemple l’année où la complexité a sérieusement commencé à augmenter) et l’année considérée A. Voir figure 4.1

 

Dès lors C(A) = k∙ ∑ ((EC(t) + EC(t+∆t)) /2) ∙ ∆t

la somme ∑ va de  Aref à A

k  est une constante de proportionnalité

∆t est un incrément de temps égal à une année

L’index de complexité I(A) de l’année A est alors donné par une grandeur sans unité, directement proportionnelle à la complexité de l’année A. Il pourrait être défini par le rapport :

I(A) = C(A) / C(Aref)

Quand  EC(A) =0 pour tout A alors il n'y a plus d'accroissement de la complexité.  C(A) ne croit plus et donc aussi I(A) qui aura atteint son maximum. Nous l'appellerons  Imax.

Si E(A) < EFR(A) l’index de complexité doit diminuer puisque l’énergie à disposition n’arrive plus à maintenir le niveau de complexité du système. Dans ce cas l’index de complexité pourrait s’écrire :

I(A) = (Imax) x (E(A)/EFR(A))

Quand I(A)/Imax ou E(A)/EFR(A) est plus petit qu’une certaine  valeur alors il y a effondrement.


Imaginons maintenant deux scénarios :

Premier scénario : Le flux d’énergie consacré à la complexité EC(A) croit dans un premier temps, puis décroît avant que le flux minimum d’énergie EFR(A), garantissant la durabilité, ait été atteint.

 

 La figure1 illustre qualitativement ce qu’il va se passer :

La figure 1b) donne  la variation qualitative du flux d’énergie EC(A)  La surface sous la courbe EC(A) donne, pour tout A, la fonction I(A) représentée dans la figure 1a) En l’année A1, puisqu’il n’y a plus d’énergie consacrée à la croissance, l’index I(A) se stabilise à une valeur constante.


 

                                                                                            Figure 1

 

Le flux d’énergie de fonctionnement et d’entretien EFR(A), qui est proportionnel au niveau de complexité de la société, donc de I(A), va croître de manière similaire. Il  est représenté par la courbe EFR(A) de la  figure b). Même si la croissance de la complexité diminue à partir de Ap, il faut toujours faire fonctionner le système complexe et assurer son entretien. La fonction EFR(A) continue à croître, mais moins vite. Après que le flux d’énergie consacré à l’accroissement de la complexité EC(A) soit tombé à zéro, en A1, l’index de complexité se stabilise simultanément à la valeur I(A1)= Imax . Tout le  flux d’énergie à disposition E(A) sert au fonctionnement et à l’entretien du système. E(A) = EFR(A).

Le flux d’énergie E(A) qu’il faudrait avoir à disposition pour satisfaire constamment l’offre et la demande énergétique  est donné par l’addition des courbes EC(A) et  EFR(A). (Figure b). Si cette dernière est encore dans la capacité de la production industrielle des flux d’énergie exogène toutes catégories, alors la société sera durable aussi longtemps que cette production sera assurée. Par exemple entre A1 et A2

Si  en A2, pour une raison ou une autre, le flux d’énergie à disposition E(A) devait diminuer, comme par exemple illustré par la ligne en pointillé de la figure b), alors le déficit d’énergie entre l’offre et la demande (zone  hachurée verticalement) fera que le système complexe ne pourra plus fonctionner normalement. Il va d’abord se dégrader lentement puis, une fois la dette énergétique trop grande, par exemple en A3, le système commencera à s’effondrer.


Deuxième scénario : le flux d’énergie consacré à la complexité EC(A) croît dans un premier temps puis, se stabilise sur une valeur fixe au cours des années suivantes. Il ne baisse que lorsque l’offre de flux d’énergie E(A) commence à baisser.


La figure 2 illustre qualitativement ce qu’il va se passer :

 Le graphique du bas donne la variation du flux total d’énergie E(A) qu’il faudrait avoir à disposition pour satisfaire la demande énergétique. Elle est représentée  par la courbe en traitillés. Elle  est  l’addition de la fonction EC(A) et EFR(A) selon l’équation.

La variation qualitative  du flux d’énergie EC(A) consacré à la croissance de la complexité est obligée de décroître en A2 après que la demande du flux d’énergie E(A) dépasse l’offre du flux d’énergie (courbe en trait plein en forme de cloche).

Le graphique du haut donne l’évolution de l’index de complexité I(A) en fonction des années. Le flux d’énergie de fonctionnement et d’entretien EFR(A) varie proportionnellement à la complexité du système, donc comme la courbe I(A) du graphique du haut.

Supposons  qu’entre A1 et A2 l’offre du  flux d’énergie à disposition  se stabilise un instant puis se met à décroître (courbe en trait plein en forme de cloche). Supposons encore que le flux d’énergie EC(A) consacré à l’accroissement de la complexité du système n’ait pas changé. Dès lors, entre A1 et A2  il va y avoir un écart croissant entre l’offre et la demande énergétique. Ce déficit est représenté par la partie hachurée verticale.

Ainsi entre A1 et A2 le système commence se dégrader. L’index de complexité I(A) diminue légèrement. Le système fonctionne de moins en moins bien. Les réparations sont renvoyées aux calendes grecques. À partir d’A2 le premier « domino » tombe, puis le deuxième, le troisième… En A3, l’écart entre l’offre et la demande énergétique est si grand que l’index de complexité s’écroule. C’est l’effondrement de l’ensemble.  Ce scénario pourrait bien être celui que nos sociétés complexes mondialisées pourraient malheureusement connaître.

   

                                                                                                                            Figure 2

 

 

 

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